İki Fazlı (Katı-Sıvı) Akış Basınç Kaybı Kaybı

Bu araç, katı partikül içeren akışkanların (slurry) dairesel boru hatlarındaki basınç kaybını hesaplamak amacıyla geliştirilmiştir. Hesaplama; sıvı faz sürtünmesi, bağıl viskozitenin etkisi, taneciklerin kinetik katkısı ve yerçekimi bileşenlerinin süperpozisyonu ile yapılmaktadır. Kritik hız ve akış rejimi değerlendirmesi de ayrıca verilmektedir.

Sonuçlar; katı hacim oranı, partikül boyutu, yoğunluk farkı, boru çapı ve seçilen modele oldukça duyarlıdır. Katı dağılımının homojen olmadığı, çok ince veya çok iri taneli sistemler ile yüksek konsantrasyonlu akışlar için belirsizlik artabilir.

Taşıyıcı sıvı

Boru malzemesi

Katının hacimsel oranı (%)

Anma çap [mm]

Debi

Katı yoğunlugu [kg/m³]

Viskozite formülü

Ortalama tane çapı [mm]

Katı şekil faktörü

İntrinsik viskozite

Maksimum facimsel fraksiyon

Boru eğim açısı θ (°)

Sürtünme kaybı birimi

Açıklama

Kullanılan formül türbilanslı akım (Re>4000) için Colebrook–White denklemidir. (Formül \ref{eu_Colebrook}) \begin{equation}\label{eu_Colebrook} \frac{1}{\sqrt{f }}=-2\log \left ( \frac{2.51}{Re\sqrt{f}}+\frac{\varepsilon /D}{3.71} \right ) \end{equation}
Darcy-Weisbach denkleminden ise boru boyunca meydana gelen sürtünme kaybı bulunur.\(\small{h_{f}=f\displaystyle\frac{L}{D}\displaystyle\frac{v^{2}}{2g}} \) mSS veya \(\small{\Delta P=f\displaystyle\frac{L}{D}\displaystyle\frac{\rho v^{2}}{2} }\) Pa'dır.
Burada, \(\small f\) boyutsuz birim sürtünme katsayısı, \(\small D\) metre olarak iççap, \(\small Re\) boyutsuz reynolt sayısı, \(\small\varepsilon\) metre olarak pürüzlülük, \(\small L\) boru boyu, \(v\) m/s olarak hız, \(\rho\) kg/m³ olarak suyun özgül kütlesidir.

Einstein Viskozite Denklemi

\(\eta=\eta_0 \left ( 1+2.5 \phi\right) \)
Burada, \(\eta\) karışımın viskozitesi (Pa.s), \(\eta_0\) sıvının viskozitesi (Pa.s), \(\phi\) Partikül hacimsel oran

Bu formül aşağıdaki durumlarda kullanılabilir;

✔️ Seyreltik süspansiyon olmalı \(\phi\lesssim 0.02-0.03 \) yaygın kabul %2 hacim oranına kadar
✔️ Parçacıklar sert ve küresel olmalı, lif, pul, iğne şeklindeki partiküller için geçersizdir.
✔️ Parçacıklar homojen dağılmış olmalı; çökelme olmamalı, topaklanma (aglomerasyon) olmamalı; yoğunluk farkı nedeniyle çökme varsa denklem hataya gider.
✔️ Sıvı Newtonian olmalı; su, yağ, glikol vb. olabilir.
✔️ Akış laminer olmalı / düşük Reynolds sayısı; süspansiyon mikroskobik ölçekte Stokes akışında olmalı, türbülans → etkileşim → model bozulur.
✔️ Parçacık boyutu küçük fakat moleküler ölçekte değil; boyut Stokes rejiminde kalmalı, ancak kolloidal ölçekte Brown etkisi baskınsa düzeltme gerekir
❌Katı hacim oranı %2’yi geçiyorsa Einstein denklemi güvenilir değildir.

Batchelor Viskozite Denklemi

\(\eta=\eta_0 \left ( 1+2.5 \phi+6.2 \phi^2 \right) \)
Burada, \(\eta\) karışımın viskozitesi (Pa.s), \(\eta_0\) sıvının viskozitesi (Pa.s), \(\phi\) Partikül hacimsel oran

Bu formül aşağıdaki durumlarda kullanılabilir;

✔️ Seyreltik süspansiyon olmalı \(\phi\lesssim 0.10-0.15 \) yaygın kabul %2 hacim oranına kadar
✔️ Parçacık özellikleri; küresel, rijit, tek boyutlu (monodispers) partiküller, floklaşma / aglomerasyon yok,kayma (slip) yok – no-slip boundary
✔️ Akış rejimi (Stokes akışı); Reynolds sayısı çok küçük olmalı (Reₚ ≪ 1); Yani düşük hız, küçük partikül ve/veya yüksek viskozite.
✔️ Newtonyen akışkan, izotropik ve homojen dağılım
❌ \(\phi > 0.20-0.25 \) ise bu formül kullanılmamalı
❌ Küresel olmayan veya lifli partiküller, yoğun çökelme / tabakalaşma varsa, yoğun katı taşıyan slurry boru akışlarında kullanılmamalı

Mooney Viskozite Denklemi

\(\eta=\eta_0 \exp \left ( \displaystyle\frac{2.5 \phi}{1-k \phi} \right) \)
Burada, \(\eta\) karışımın viskozitesi (Pa.s), \(\eta_0\) sıvının viskozitesi (Pa.s), \(\phi\) Partikül hacimsel oran, \(k\) Mooney'nin deneysel olarak belirlenen bir sabitidir.
\(k\) faktörü, partiküllerin geometrisi, şekli ve dağılımı ile ilgili parametreleri yansıtan bir sabittir. Bu sabit, genellikle 1.35 ile 2.5 arasında değişir ve partiküllerin şekline, boyutuna ve süspansiyondaki dağılımına bağlı olarak belirlenir: Küresel Partiküller: Küresel partiküller için \(k\) faktörü genellikle 1.35 civarındadır. Daha Karmaşık Şekilli Partiküller: Uzun, ince veya düzensiz şekilli partiküller için \(k\) faktörü daha yüksek olabilir, bu durumda 2.5’e kadar çıkabilir.

Roscoe Viskozite Denklemi

\(\eta=\eta_0 \left ( 1-\phi \right)^{-2.5} \)
Burada, \(\eta\) karışımın viskozitesi (Pa.s), \(\eta_0\) sıvının viskozitesi (Pa.s), \(\phi\) Partikül hacimsel oran

Krieger Dougherty Viskozite Denklemi

\(\eta=\eta_0 \left ( 1-\displaystyle\frac{\phi}{\phi_{m}} \right)^{-[\eta]\phi_{m}} \)
Burada, \(\eta\) karışımın viskozitesi (Pa.s), \(\eta_0\) sıvının viskozitesi (Pa.s), \(\phi\) Partikül hacimsel oran, \([\eta]\) İntrinsik viskozite, genellikle küresel partiküller için 2.5 olarak alınır, \(\phi_{m}\) Maksimum hacimsel oran (süspansiyonda partiküllerin alabileceği maksimum hacim fraksiyonu, tipik olarak 0.6-0.74 aralığında)

Hacimsel oran

Katı hacminin tüm hacme oranıdır.
\(\phi_i=\displaystyle\frac{V_i}{V_{toplam}} \)

Wilson–Addie Modeli ile Toplam Basınç Kaybı

Toplam basınç kaybı; sıvı faz sürtünmesi, göreli viskozite nedeniyle artış, tanelerin kinetik etkisi ve boru eğimi / yerçekimi katkısının toplamı olarak Wilson–Addie modeline göre hesaplanmaktadır:

\[ \Delta P_{\text{toplam}} = \Delta P_{\text{sıvı}} + \Delta P_{\text{viskoz}} + \Delta P_{\text{kinetik}} + \Delta P_{\text{yerçekimi}} \]

Burada:

\(\Delta P_{\text{sıvı}}\): temiz akışkanın (su vb.) sürtünme kaybı
\(\Delta P_{\text{viskoz}}\): süspansiyonun göreli viskozitesinin artması sonucu oluşan ek kayıp
\(\Delta P_{\text{kinetik}}\): katı tanelerin momentum etkisinden doğan kayıp
\(\Delta P_{\text{yerçekimi}}\): çökelme ve boru eğimi nedeniyle oluşan yerçekimi katkısıdır

Yerçekimi terimi karışım yoğunluğu kullanılarak

\[ \rho_m\,g\,\sin\theta \]

şeklinde modele eklenir. Pozitif (\(+\)) açı yukarı eğimi, negatif (\(-\)) açı aşağı eğimi temsil eder. \(\theta = 0\) olduğunda boru yataydır.

Referanslar

Bu sayfadaki hesaplamalar ve açıklamalar aşağıdaki klasik çalışmalar ve teknik kaynaklar temel alınarak hazırlanmıştır.

Einstein, A. (1906). A New Determination of the Molecular Dimensions. Annalen der Physik.
Mooney, M. (1951). The Viscosity of a Concentrated Suspension of Spherical Particles. Journal of Colloid Science, 6(2), 162–170.
Krieger, I. M., & Dougherty, T. J. (1959). A Mechanism for Non-Newtonian Flow in Suspensions of Rigid Spheres. Transactions of the Society of Rheology, 3(1), 137–152.
Wilson, L. E., & Addie, G. R. (1958). Pressure Loss of Slurries in Pipes. Chemical Engineering Progress.
Swamee, P. K., & Jain, A. K. (1976). Explicit Equations for Pipe-Flow Problems. Journal of the Hydraulics Division, ASCE, 102(5), 657–664.
Anton Paar Wiki. The Influence of Particles on Suspension Rheology. Erişim adresi: wiki.anton-paar.com
Crowe, C. T., Sommerfeld, M., & Tsuji, Y. (2011). Multiphase Flows with Droplets and Particles. 2nd ed., CRC Press.

Not: Bu sayfadaki formüller, yukarıdaki modeller temel alınarak sadeleştirilmiş ve sıvı–katı iki fazlı akış için eğitim / ön boyutlandırma amaçlı uyarlanmıştır.