Solución de ecuación cúbica

Proporciona todas las raíces, reales o complejas, de una ecuación cúbica de la forma \(\small{a*x^3+b*x^2+c*x+d=0}\), cuyos coeficientes pueden ser números reales o complejos.

Nota 1: se debe cumplir \(a\ne0\).

Nota 2: si el coeficiente es un número real, se escribirá el valor real en la primera casilla y la segunda casilla será cero. Si el coeficiente es un número complejo, la parte real del número se escribirá en la primera casilla y la parte imaginaria en la segunda casilla.

Coeficientes

\(a=\) + \(i\)

\(b=\) + \(i\)

\(c=\) + \(i\)

\(d=\) + \(i\)

Primero, se calculan los valores de \(\alpha\) y \(\beta\) a partir de las fórmulas (1) y (2). Luego, con estos valores se obtiene \(\Delta\). A continuación, utilizando \(\alpha\), \(\beta\) y \(\Delta\), se determinan las raíces \(x_1\), \(x_2\) y \(x_3\). El número \(i\) en la fórmula representa la unidad imaginaria, definida como \(i=\sqrt{-1}\). \begin{equation} \alpha=\frac{d}{2a} + \frac{b^3}{27a^3} - \frac{bc}{6a^2} \end{equation} \begin{equation} \beta=\frac{c}{3a} -\frac{b^2}{9a^2} \end{equation} \begin{equation} \Delta= \sqrt{\alpha^2 + \beta^3}-\alpha \end{equation} \begin{equation} x_1= \sqrt[3]{\Delta} -\frac{b}{3a} - \frac{\beta}{\sqrt[3]{\Delta}} \end{equation} \begin{equation} \begin{array}{ll} x_2 &=\displaystyle \frac{\beta}{2 \sqrt[3]{\Delta }} -\frac{b}{3a}-\frac{1}{2}\sqrt[3]{\Delta} \\ &-\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\left\{\displaystyle \frac{\beta}{\sqrt[3]{\Delta }} + \sqrt[3]{\Delta }\right\} i \end{array} \end{equation} \begin{equation} \begin{array}{ll} x_3 &=\displaystyle \frac{\beta}{2 \sqrt[3]{\Delta}} -\frac{b}{3a}-\frac{1}{2}\sqrt[3]{\Delta } \\ &+\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\left\{\displaystyle \frac{\beta}{\sqrt[3]{\Delta}} + \sqrt[3]{\Delta }\right\} i \end{array} \end{equation}