Solución de ecuaciones de tercer grado
Si los coeficientes de la ecuación \(\small{a*x^3+b*x^2+c*x+d=0}\), son números reales o complejos, la ecuación tiene tres raíces, que pueden ser reales o complejas.
Nota 1: El coeficiente \(a\) debe ser distinto de cero.
Nota 2: Si el coeficiente es un número real, escríbalo en el primer recuadro y coloque un 0 en el segundo. Si es un número complejo, escriba la parte real en el primer recuadro y la parte imaginaria en el segundo.
Por ejemplo: para la ecuación \(x^3+3x^2−4x+2=0\), introduzca a=1, b=3, c=-4, d=2 y luego haga clic en ‘Calcular raíces’.
Primero, se calculan los valores de \(\alpha\) y \(\beta\) a partir de las fórmulas (1) y (2). Luego, con estos valores se obtiene \(\Delta\).
A continuación, utilizando \(\alpha\), \(\beta\) y \(\Delta\), se determinan las raíces \(x_1\), \(x_2\) y \(x_3\). El número \(i\) en la fórmula representa la unidad imaginaria, definida como \(i=\sqrt{-1}\).
\begin{equation}
\alpha=\frac{d}{2a} + \frac{b^3}{27a^3} - \frac{bc}{6a^2}
\end{equation}
\begin{equation}
\beta=\frac{c}{3a} -\frac{b^2}{9a^2}
\end{equation}
\begin{equation}
\Delta= \sqrt{\alpha^2 + \beta^3}-\alpha
\end{equation}
\begin{equation}
x_1= \sqrt[3]{\Delta} -\frac{b}{3a} - \frac{\beta}{\sqrt[3]{\Delta}}
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{array}{ll}
x_2 &=\displaystyle \frac{\beta}{2 \sqrt[3]{\Delta }} -\frac{b}{3a}-\frac{1}{2}\sqrt[3]{\Delta} \\
&-\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\left\{\displaystyle \frac{\beta}{\sqrt[3]{\Delta }} + \sqrt[3]{\Delta }\right\} i
\end{array}
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{array}{ll}
x_3 &=\displaystyle \frac{\beta}{2 \sqrt[3]{\Delta}} -\frac{b}{3a}-\frac{1}{2}\sqrt[3]{\Delta } \\
&+\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\left\{\displaystyle \frac{\beta}{\sqrt[3]{\Delta}} + \sqrt[3]{\Delta }\right\} i
\end{array}
\end{equation}