Solución de ecuaciones de cuarto grado

Una ecuación de cuarto grado de la forma \(\small{a*x^4+b*x^3+c*x^2+d*x+e=0}\), con coeficientes de números reales o complejos, proporciona todas las raíces como números reales o complejos.

Nota 1: Debe cumplirse que \(a\ne0\).

Nota 2: Si el coeficiente es un número real, se debe escribir el número real en el primer cuadro y el segundo cuadro debe ser cero. Si el coeficiente es un número complejo, la parte real del número se escribirá en el primer cuadro y la parte imaginaria en el segundo cuadro.

Coeficientes de la ecuación:

\(a=\)+ \(i\)

\(b=\)+ \(i\)

\(c=\)+ \(i\)

\(d=\)+ \(i\)

\(e=\)+ \(i\)

Siguiendo los pasos a continuación, se encuentran todas las raíces de la ecuación de cuarto grado.
Los coeficientes de la ecuación se dividen por \(a\). Se calculan los valores \(B=\displaystyle \frac{b}{a}\), \(C=\displaystyle \frac{c}{a}\), \(D= \displaystyle\frac{d}{a}\), \(E= \displaystyle\frac{e}{a}\), y los siguientes valores de \(\alpha\) y \(\beta\).
\(\alpha= 27 E B^{\,2} - 9 B C D + 2 C^{\,3} - 72 E C + 27 D^{\,2} \)
\(\beta=-3 B D + C^2 + 12 E\)

Se calculan en orden los valores \(\delta\), \(\xi_1\), \(\xi_2\), \(\varepsilon_1\), \(\varepsilon_2\), \(\Delta\), \(\Delta_1\) y \(\Delta_2\).

\(\delta =\displaystyle\sqrt[\displaystyle 3]{\sqrt{\alpha^{\,2} - 4 \displaystyle\beta^{\,3}} + \displaystyle \alpha}\)

\(\xi_1 = \displaystyle\frac{\displaystyle \delta }{\displaystyle 3\displaystyle \sqrt[3]{\displaystyle 2}} + \displaystyle\frac{\displaystyle \sqrt[3]{\displaystyle 2}\displaystyle \beta}{3\displaystyle \delta}\)

\(\xi_2 = \displaystyle\frac{B^{2}}{4} -\displaystyle\frac{2C}{3}\)

\(\displaystyle\varepsilon_1 = \displaystyle\frac{-B^{\,3} + 4 B C - 8 D}{4 \displaystyle \sqrt{\displaystyle\xi_1 + \displaystyle\xi_2}}\)

\(\displaystyle\varepsilon_2 = \displaystyle\frac{-\displaystyle \delta}{3 \displaystyle \sqrt[3]{2}} - \displaystyle\frac{\sqrt[3]{2} \beta}{3 \delta} + \displaystyle\frac{B^{\,2} }{2}\)

\(\displaystyle\Delta = \displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{\xi_1 + \xi_2}\)
\(\displaystyle\Delta_1 = \displaystyle\frac{1}{2} \sqrt{\displaystyle\varepsilon_2 - \displaystyle\varepsilon_1 - \displaystyle\frac{4 C}{3}}\)
\(\displaystyle\Delta_2 = \displaystyle\frac{1}{2} \sqrt{\displaystyle\varepsilon_2 + \displaystyle\varepsilon_1 - \displaystyle\frac{4 C}{3}}\)

Raíz 1 :       \(\displaystyle\varkappa_1= -\displaystyle\displaystyle\Delta - \displaystyle\Delta_1 - \displaystyle\frac{B}{4}\)

Raíz 2 :       \(\displaystyle\varkappa_2= -\displaystyle\Delta + \displaystyle\Delta_1 - \displaystyle\frac{B}{4}\)

Raíz 3 :       \(\displaystyle\varkappa_3= \displaystyle\Delta - \displaystyle\Delta_2 - \displaystyle\frac{B}{4}\)

Raíz 4 :       \(\displaystyle\varkappa_4= \displaystyle\Delta + \displaystyle\Delta_2 -\displaystyle \frac{B}{4}\)