Newton-Raphson İterasyon Yöntemi

Çok değişkenli bir denklem sistemin nasıl çözüleceğini tartışmadan önce, bir N boyutlu fonksiyonunun Taylor serisi açılımını gözden geçirmek faydalı olacaktır .

Bir değişkenli Newton-Raphson Yöntemi $f(x)=0$ benzer olarak genelleştirilebilir.
$\{\begin{array}{c}{f}_1(x_1,\cdots ,x_n)=f_1\left(\mathbf{x}\right)\\ f_2(x_1,\cdots ,x_n)=f_2\left(\mathbf{x}\right)\\ \cdots \\ f_n(x_1,\cdots ,x_n)=f_n\left(\mathbf{x}\right)\end{array}$

burada,

$\mathbf{x}={[x_1,\cdots ,x_n]}^T$

$\mathbf{f}\left(\mathbf{x}\right)={[f\left({\mathbf{x}}_{\mathbf{1}}\right),\cdots ,f\left({\mathbf{x}}_{\mathbf{n}}\right)]}^T$

$\mathbf{f}\left(\mathbf{x}\right)=0$

Taylor serisi açılımı ile,

$\begin{array}{c}{f}_i(\mathbf{x}+\delta \mathbf{x})=f_i\left(\mathbf{x}\right)+{\displaystyle \sum _{j=1}^N\frac{\partial f_i\left(\mathbf{x}\right)}{\partial x_j}\delta x_j+O\left(\partial x^2\right)}\\ \approx f_i\left(\mathbf{x}\right)+{\displaystyle \sum _{j=1}^N\frac{\partial f_i\left(\mathbf{x}\right)}{\partial x_j}\delta x_j}\end{array}$

$N$ adet denklemi vektör formunda yazarsak,

$\begin{array}{c}f(\mathbf{x}+\delta \mathbf{x})={\displaystyle \left[\begin{array}{c}{f}_1(\mathbf{x}+\delta \mathbf{x})\\ ⋮\\ f_N(\mathbf{x}+\delta \mathbf{x})\end{array}\right]}\\ \approx {\displaystyle \left[\begin{array}{c}{f}_1\left(\mathbf{x}\right)\\ \cdots \\ f_n\left(\mathbf{x}\right)\end{array}\right]+{\displaystyle \left[\begin{array}{ccc}\frac{\partial f_1}{\partial x_1}& \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_N}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\partial f_N}{\partial x_1}& \cdots & \frac{\partial f_N}{\partial x_N}\end{array}\right]}}\end{array}$

$f(\mathbf{x}+\delta \mathbf{x})=f\left(\mathbf{x}\right)+{\mathbf{J}}_{\mathbf{f}}\left(\mathbf{x}\right)\delta \mathbf{x}$

Burada ${\mathbf{J}}_{\mathbf{f}}\left(\mathbf{x}\right)$, $f\left(\mathbf{x}\right)$ fonksiyonunun $NxN$ boyutlu Jacobian matrisidir.

${\mathbf{J}}_{\mathbf{f}}\left(\mathbf{x}\right)={\displaystyle \left[\begin{array}{ccc}\frac{\partial f_1}{\partial x_1}& \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_N}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\partial f_N}{\partial x_1}& \cdots & \frac{\partial f_N}{\partial x_N}\end{array}\right]}$

Matrisin ij'inci elemanı $\frac{\partial f_i}{\partial x_j}$ 'dır.

$f(\mathbf{x}+\delta \mathbf{x})=f\left(\mathbf{x}\right)+\mathbf{J}\left(\mathbf{x}\right)\delta \mathbf{x}$

formülünden $\delta \mathbf{x}$ değerini bulalım. Burada $f(\mathbf{x}+\delta \mathbf{x})=0$

$\delta \mathbf{x}=\mathbf{J}{\left(\mathbf{x}\right)}^{-1}[f(\mathbf{x}+\delta \mathbf{x})-f\left(\mathbf{x}\right)]$

$\delta \mathbf{x}=-\mathbf{J}{\left(\mathbf{x}\right)}^{-1}f\left(\mathbf{x}\right)$

Devamla,
$x+\delta \mathbf{x}=x-\mathbf{J}{\left(\mathbf{x}\right)}^{-1}f\left(\mathbf{x}\right)$
ve
$x_{n+1}+\delta \mathbf{x}=x_n-\mathbf{J}{\left(\mathbf{x}\right)}^{-1}f\left(\mathbf{x}\right)$

Burara $x_n$ n inci iterasyonda bulunan sonuç vektörüdür. Başlangıç vektörü ise $x_0={[x_1,\cdots ,x_N]}^T$ Genel ifade

${\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_N\end{array}\right]}_{n+1}={\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_N\end{array}\right]}_n-{\mathbf{J}\left({\mathbf{x}}_{\mathbf{n}}\right)}^{-1}\left[\begin{array}{c}{f}_1\left(x_n\right)\\ ⋮\\ f_N\left(x_n\right)\end{array}\right]$