 Matematik
|
Bir noktanın doğruya mesafesi
Analitik olarak bir noktanın bir doğruya mesafesini bulmak için aşağıdaki örneği yapalım.
AB doğrusuna, C noktasının mesafesinin bulalım.
|
|
\(\overline{AB}\) doğrusunun, \(A\) noktası \((a_1,a_2,a_3)\), \(B\) noktası \((b_1,b_2,b_3)\) olsun. Bu doğruya \(C\) \((c_1,c_2,c_3)\) noktasının mesafesini bulalım.
Noktaların vektörel gösterimi; \(A\) noktası \(\overrightarrow{a}=a_1\overrightarrow{i}+a_2\overrightarrow{j}+a_3\overrightarrow{k}\),
\(B\) noktası \(\overrightarrow{b}=b_1\overrightarrow{i}+b_2\overrightarrow{j}+b_3\overrightarrow{k}\) ve \(C\) noktası \(\overrightarrow{c}=c_1\overrightarrow{i}+c_2\overrightarrow{j}+c_3\overrightarrow{k}\)'dır.
Metod 1: Vektörel Çarpım ile Mesafe Bulma
\(\overrightarrow{AC}=\displaystyle \overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}=(c_1-a_1)\overrightarrow{i}+(c_2-a_2)\overrightarrow{j}+(c_3-a_3)\overrightarrow{k}\)
\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}=(b_1-a_1)\overrightarrow{i}+(b_2-a_2)\overrightarrow{j}+(b_3-a_3)\overrightarrow{k}\)
\(\overrightarrow{AB}\) ile \(\overrightarrow{AC}\) vektörlerini vektörel olarak çarpalım.
\(\overrightarrow{AC}x\overrightarrow{AB}=\begin{vmatrix}
\overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} &\overrightarrow{k} \\
(c_1-a_1) & (c_2-a_2) &(c_3-a_3) \\
(b_1-a_1) &(b_2-a_2) &(b_3-a_3)
\end{vmatrix}\)
matrisinin determinantı bulunur. Bu determinant bir vektördür.
Vektörel çarpım işlemi sonucu bulunan vektörün normu bulunur \(\left \|\overrightarrow{AC}x\overrightarrow{AB} \right \|\) .
\(\overline{AB}\) doğrusunun normu ise \(\left \|AB \right \|\) dir.
\(\displaystyle \left \|CD \right \|=\displaystyle \frac{\displaystyle \left \|\overrightarrow{AC}x\overrightarrow{AB} \right \|}{\displaystyle \left \| AB \right \|}\) değeri \(C\) noktasının \(\overline{AB}\) doğrusuna mesafeyi verir.
Örnek:
\(\overline{AB}\) doğrusunun, \(A\) noktası \((1,3,-1)\), \(B\) noktası \((3,6,0)\) olsun. Bu doğruya \(C\) \((-2,4,-3)\) noktasının mesafesini bulalım.
Noktaların vektörel gösterimi; \(A\) noktası \(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}-\overrightarrow{k}\),
\(B\) noktası \(\overrightarrow{b}=3\overrightarrow{i}+6\overrightarrow{j}\) ve
\(C\) noktası \(\overrightarrow{c}=-2\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{j}-3\overrightarrow{k}\)'dır.
\(\overrightarrow{AC}=\displaystyle \overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}=-3\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}-2\overrightarrow{k}\)
\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}\)
\(\overrightarrow{AB}\) ile \(\overrightarrow{AC}\) vektörlerini vektörel olarak çarpalım.
\(\overrightarrow{AC}x\overrightarrow{AB}=\begin{vmatrix}
\overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} &\overrightarrow{k} \\
-3 & 1 &-2 \\
2 & 3 & 1
\end{vmatrix}=7\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}-11\overrightarrow{k}\) bulunur.
\(\left \|\overrightarrow{AC}x\overrightarrow{AB} \right \|=\sqrt{171}\)
\(\left \|AB \right \|=\sqrt{14}\)
\(\overline{CD}\) mesafesi;
\(\left \| CD \right \|=\displaystyle\frac{\sqrt{171}}{\sqrt{14}}= \displaystyle \sqrt{\frac{171}{14}}\)
Metod 2: Herhangi bir nokta kullanarak
\(\overline{AB}\) doğrusu üzerindeki herhangi bir \(D\) noktasını \(t\) parametresi ile aşağıdaki gibi yazabiliriz.
\(\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{a}+t\cdot\overrightarrow{AB}\)
\(\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC}\)
\(\overrightarrow{CD}\cdot \overrightarrow{AB}\) scaler çarpımının sıfır değerini veren t değeri bulunur. Buradan da D noktası bulunur.
OD uzunluğu hesaplanır.
Örnek:
\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}\)
\(\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{a}+t\cdot\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}-\overrightarrow{k}+t(2\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k})\)
\(\overrightarrow{OD}=(2t+1)\overrightarrow{i}+(3t+3)\overrightarrow{j}+(t-1)\overrightarrow{k}\)
\(\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC}\)
\(\overrightarrow{CD}=(2t+3)\overrightarrow{i}+(3t-1)\overrightarrow{j}+(t+2)\overrightarrow{k}\)
\(\overrightarrow{CD}\cdot \overrightarrow{AB}=0 \)
\( \therefore 2(2t+3)+3(3t-1)+1(t+2)=0\)
\( \therefore t=-\displaystyle\frac{5}{14}\)
\(\left | CD \right |=\displaystyle\sqrt{\left(2t+3\right)^2+\left(3t-1\right)^2+\left(t+2\right)^2}\) denkleminde bulunan \(t\) değerinin yerine koyalım.
\(=\displaystyle\sqrt{\left[2\left (-\displaystyle\frac{5}{14}\right)+3\right]^2+\left[3\left (-\displaystyle\frac{5}{14}\right)-1\right]^2+\left[\left (-\displaystyle\frac{5}{14}\right)+2\right]^2}\)
\(=\displaystyle\sqrt{\displaystyle\frac{171}{14}}\)
|
|