\(\small{a*x^4+b*x^3+c*x^2+d*x+e=0}\)
Data un’equazione di quarto grado con coefficienti reali o complessi,
restituisce tutte le sue radici sotto forma di numeri reali o complessi.
Nota 2:
Se il coefficiente è un numero reale, il valore reale deve essere inserito nel primo campo
e il secondo campo deve essere impostato a zero.
Se il coefficiente è un numero complesso, la parte reale va inserita nel primo campo
e la parte immaginaria nel secondo campo.
Le seguenti operazioni vengono eseguite in ordine per determinare tutte le radici
dell’equazione di quarto grado.
I coefficienti dell’equazione vengono divisi per \(a\).
Si ottengono i valori
\(B=\displaystyle \frac{b}{a}\), \(C=\displaystyle \frac{c}{a}\),
\(D=\displaystyle \frac{d}{a}\), \(E=\displaystyle \frac{e}{a}\)
e i seguenti valori di \(\alpha\) e \(\beta\).
\(\alpha= 27 E B^{\,2} - 9 B C D + 2 C^{\,3} - 72 E C + 27 D^{\,2} \)
\(\beta=-3 B D + C^2 + 12 E\)
Successivamente vengono calcolati, nell’ordine,
i valori di \(\delta\), \(\xi_1\), \(\xi_2\),
\(\varepsilon_1\), \(\varepsilon_2\),
\(\Delta\), \(\Delta_1\) e \(\Delta_2\).
\(\delta =\displaystyle\sqrt[\displaystyle 3]{\sqrt{\alpha^{\,2} - 4 \displaystyle\beta^{\,3}} + \displaystyle \alpha}\)
\(\xi_1 = \displaystyle\frac{\displaystyle \delta }{\displaystyle 3\displaystyle \sqrt[3]{\displaystyle 2}}
+ \displaystyle\frac{\displaystyle \sqrt[3]{\displaystyle 2}\displaystyle \beta}{3\displaystyle \delta}\)
\(\xi_2 = \displaystyle\frac{B^{2}}{4} -\displaystyle\frac{2C}{3}\)
\(\displaystyle\varepsilon_1 =
\displaystyle\frac{-B^{\,3} + 4 B C - 8 D}
{4 \displaystyle \sqrt{\displaystyle\xi_1 + \displaystyle\xi_2}}\)
\(\displaystyle\varepsilon_2 =
\displaystyle\frac{-\displaystyle \delta}{3 \displaystyle \sqrt[3]{2}}
- \displaystyle\frac{\sqrt[3]{2} \beta}{3 \delta}
+ \displaystyle\frac{B^{\,2} }{2}\)
\(\displaystyle\Delta = \displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{\xi_1 + \xi_2}\)
\(\displaystyle\Delta_1 =
\displaystyle\frac{1}{2}
\sqrt{\displaystyle\varepsilon_2 - \displaystyle\varepsilon_1 - \displaystyle\frac{4 C}{3}}\)
\(\displaystyle\Delta_2 =
\displaystyle\frac{1}{2}
\sqrt{\displaystyle\varepsilon_2 + \displaystyle\varepsilon_1 - \displaystyle\frac{4 C}{3}}\)
Radice 1 :
\(\displaystyle\varkappa_1=
-\displaystyle\Delta - \displaystyle\Delta_1 - \displaystyle\frac{B}{4}\)
Radice 2 :
\(\displaystyle\varkappa_2=
-\displaystyle\Delta + \displaystyle\Delta_1 - \displaystyle\frac{B}{4}\)
Radice 3 :
\(\displaystyle\varkappa_3=
\displaystyle\Delta - \displaystyle\Delta_2 - \displaystyle\frac{B}{4}\)
Radice 4 :
\(\displaystyle\varkappa_4=
\displaystyle\Delta + \displaystyle\Delta_2 -\displaystyle \frac{B}{4}\)