Soluzione dell’equazione di terzo grado

\(\small{a*x^3+b*x^2+c*x+d=0}\) Data un’equazione di terzo grado con coefficienti reali o complessi, restituisce tutte le sue radici sotto forma di numeri reali o complessi.

Nota 1: \(a \ne 0\)

Nota 2: Se il coefficiente è un numero reale, il valore reale deve essere inserito nel primo campo e il secondo campo deve essere impostato a zero. Se il coefficiente è un numero complesso, la parte reale va inserita nel primo campo e la parte immaginaria nel secondo campo.

Dalle formule (1) e (2) si determinano i valori di \(\alpha\) e \(\beta\). A partire da questi valori si ottiene il discriminante \(\Delta\). Utilizzando \(\alpha\), \(\beta\) e \(\Delta\), si calcolano le radici \(x_1\), \(x_2\) e \(x_3\). Nelle formule, il numero \(i\) rappresenta l’unità immaginaria ed è definito come \(i=\sqrt{-1}\). \begin{equation} \alpha=\frac{d}{2a} + \frac{b^3}{27a^3} - \frac{bc}{6a^2} \end{equation} \begin{equation} \beta=\frac{c}{3a} -\frac{b^2}{9a^2} \end{equation} \begin{equation} \Delta= \sqrt{\alpha^2 + \beta^3}-\alpha \end{equation} \begin{equation} x_1= \sqrt[3]{\Delta} -\frac{b}{3a} - \frac{\beta}{\sqrt[3]{\Delta}} \end{equation} \begin{equation} \begin{array}{ll} x_2 &=\displaystyle \frac{\beta}{2 \sqrt[3]{\Delta }} -\frac{b}{3a}-\frac{1}{2}\sqrt[3]{\Delta} \\ &-\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\left\{\displaystyle \frac{\beta}{\sqrt[3]{\Delta }} + \sqrt[3]{\Delta }\right\} i \end{array} \end{equation} \begin{equation} \begin{array}{ll} x_3 &=\displaystyle \frac{\beta}{2 \sqrt[3]{\Delta}} -\frac{b}{3a}-\frac{1}{2}\sqrt[3]{\Delta } \\ &+\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\left\{\displaystyle \frac{\beta}{\sqrt[3]{\Delta}} + \sqrt[3]{\Delta }\right\} i \end{array} \end{equation}